Polstellen

[Heiko]

Hallo Rainer,
danke erstmal für Deine Antwort.
Es hat etwas lange gedauert weil ich auf Deine Ungleichung einfach nicht gekommen bin.
Ich , und unabhängig von mir auch ein Freun sind auf ein anderes Ergebnis gekommen .
Schau Dir das mal an.

Hallo Heiko,
Die Polstellen der ÜT-Funktion sind nichts anderes als die Nullstellen des Nennerpolynoms. Ein Tiefpaß 1. Ordnung hat immer eine reelle Nullstelle im Nenner, also folglich eine reelle Polstelle. Kann also nie schwingen. Die ÜT-Funktion lautet dann: 1/(1+sT). Wie man leicht sehen kann, liegt die Polstelle bei -1. Relle Polstellen - auch bei Filtern höherer Ordnung - können niemals das System zum Selbstschwingen bringen. Erst wenn die Polstellen komplex werden hat das System in den Sprungantworten abklingende Schwingungen solange die Polstellen auf der Seite der negativen Realachse in der komplexen Zahlenebene liegen. Setzt man in obiges Beispiel für "s" die "j omega" - also die Kreisfrequenz als imaginäre Größe, so erhält man bei "j omega T" = j1 einen Imaginärteil der gleich dem Realteil ist. Dann ist das Ergebnis
1/(1+j1) = 0,707 * exp(-45°) und die Grenzfrequenz ist erreicht.
Ein Tiefpaß 2. Ordnung hat die ÜT-Funktion 1/(1+aP+bP²), mit P=sT. Das System ist dann stabil (schwingt nicht) wenn (aP)² - 4P > 0 ist. Ist es =0 entstehen überhaupt keine Schwingungen, da dann die Gleichung nur reelle Lösungen besitzt. Weiter ist für die Stabilität im Falle konjugiert komplexer Lösungen a/b>0 notwendig, da der Realteil der Lösungen gleich -a/2b ist.

Ich denke diese Lösung macht Sinn , was denkst Du ?
Gruss,
Heiko

[Heiko]

Hallo ,
was versteht man unter Polstellen in der Übertragungsfunktion ?
Angeblich sollen sie bei der Grenzfrequenz einer Verstärkerschaltung liegen.
Polstellen sind doch speziellen nichthebbare Singularitäten , aber welche Grösse divergiert bei der Übertragungsfunktion ?
Wie sieht der Phasenverlauf , bei einer Verstärkerschltung ( z.B. einer Gegentaktendstufe ), aus ( Bezugspunkt soll Grenzfrequenz sein ) ?
Bei Hoch - bzw. Tiefpass ( mit einem Bauteil ,also keine speziellen Filterart ) hat man bei der Grenzfrequenz einer Phasenverschiebung von (-/+)45° .

Gruss,
Heiko

[Rainer]

Hallo Heiko,
Ich habe mich - glaube ich - etwas mißverständlich ausgedrückt. Deshalb hier noch einmal die Darstellung:
Unser Nennerpolynom ist ja eine quadratische Gleichung von der Form ax²+bx+c=0.
Und die Lösungsformel für die Nullstellen ist ja auch bekannt und lautet x1/x2 =
[-b +/- sqrt(b²-4ac)]/2a.
ist nun die Determinate b²-4ac >0, dann haben wir 2 relle Löungen und das ÜT-System verhält sich kriechend, kann also nie schwingen.
Ist die Determinante =0, dann liegt der aperiodische Grenzfall vor und wir bekommen eine relle Doppelnullstelle, d.h. es entsteht gerade keine Schwingung bei Anregung mit einem Sprung oder Impuls.
Ist die Det.

[Heiko]

Hallo Rainer ,
so ist es gut nachvollziehbar.
Danke.
Gruss,
Heiko

Hallo Heiko,
Ich habe mich - glaube ich - etwas mißverständlich ausgedrückt. Deshalb hier noch einmal die Darstellung:
Unser Nennerpolynom ist ja eine quadratische Gleichung von der Form ax²+bx+c=0.
Und die Lösungsformel für die Nullstellen ist ja auch bekannt und lautet x1/x2 =
[-b +/- sqrt(b²-4ac)]/2a.
ist nun die Determinate b²-4ac >0, dann haben wir 2 relle Löungen und das ÜT-System verhält sich kriechend, kann also nie schwingen.
Ist die Determinante =0, dann liegt der aperiodische Grenzfall vor und wir bekommen eine relle Doppelnullstelle, d.h. es entsteht gerade keine Schwingung bei Anregung mit einem Sprung oder Impuls.
Ist die Det. Es muß also bei allen Systemen - auch bei höherer Ordnung als 2. Grades dafür gesorgt werden, daß alle Polstellen der ÜT-Funktion einen negativen Realteil haben. Positiver Realteil ist immer instabil.

MfG
Rainer

[Rainer]

Hallo Heiko,
Die Polstellen der ÜT-Funktion sind nichts anderes als die Nullstellen des Nennerpolynoms. Ein Tiefpaß 1. Ordnung hat immer eine reelle Nullstelle im Nenner, also folglich eine reelle Polstelle. Kann also nie schwingen. Die ÜT-Funktion lautet dann: 1/(1+sT). Wie man leicht sehen kann, liegt die Polstelle bei -1. Relle Polstellen - auch bei Filtern höherer Ordnung - können niemals das System zum Selbstschwingen bringen. Erst wenn die Polstellen komplex werden hat das System in den Sprungantworten abklingende Schwingungen solange die Polstellen auf der Seite der negativen Realachse in der komplexen Zahlenebene liegen. Setzt man in obiges Beispiel für "s" die "j omega" - also die Kreisfrequenz als imaginäre Größe, so erhält man bei "j omega T" = j1 einen Imaginärteil der gleich dem Realteil ist. Dann ist das Ergebnis
1/(1+j1) = 0,707 * exp(-45°) und die Grenzfrequenz ist erreicht.
Ein Tiefpaß 2. Ordnung hat die ÜT-Funktion 1/(1+aP+bP²), mit P=sT. Das System ist dann stabil (schwingt nicht) wenn (aP)² - 4P > 0 ist. Ist es < 0 liegt eine gedämpft Schwingung vor, und ist aP=0 fehlt die Dämpfung ganz, das System hat rein imaginäre Polstellen und es liegt Dauerschwingung vor. Das ist bei Oszillatoren der Fall, hier muß also durch die Rückkopplung dafür gesorgt werden daß die beiden (konjugiert) komplexen Polstellen auf die Imaginäre Achse verschoben werden. Bei einem Verstärker dagegen, sollten die Polstellen rein rell werden (erreicht man durch GEGENkopplung), dann arbeitet der Verstärker stabil und kann nie schwingen.
Ich denke das genügt erst mal als Erklärung
MfG
Rainer